Shannon, Nyquist, Fourier

Los sistemas de telefonía y en general todos los sistemas de transmisión de datos están fuertemente condicionados en su diseño y funcionamiento por unos cuantos teoremas matemáticos que, al menos de forma aproximada, es necesario conocer.

En primer lugar tenemos el llamado Teorema Fundamental de las Comunicaciones o Teorema de Shannon. Este teorema, publicado en 1948 fija un límite máximo a la velocidad de transmisión de datos para cualquier sistema de comunicaciones. Las consecuencias prácticas de este teorema en el mundo de la telefonía se observan con claridad en sistemas como:

•  Las lineas de transmisión de datos ADSL utilizando los pares existentes de bucles del abonado.
•  Las transmisiones de datos por GSM, GPRS, 3G, HSUPA, HSDPA, 4G, DECT y otros.
•  Canales B disponibles en accesos básicos y accesos primarios en RDSI.
• Comunicaciones por fibra óptica.

En segundo lugar tenemos el denominado Teorema del Muestreo o Teorema de Nyquist, desarrollado en 1928 por H. Nyquist y que establece que cualquier señal analógica de frecuencia máxima “f” puede ser digitalizada y reconstruida sin error si la frecuencia de muestreo empleada en la digitalización es mayor que dos veces dicha frecuencia “f”. Este teorema tiene consecuencias prácticas en la forma en que se digitaliza cualquier señal analógica. En el campo de la telefonía podemos citar como ejemplos los siguientes:

• Digitalización de la RDSI a 8000 muestras por segundo para dar un flujo de 8000 x 8 = 64.000 bps.
• Métodos de digitalización de la señal de voz empleados en telefonía móvil GSM y 3G.
• Diseño de los diferentes codecs de audio empleados en telefonía IP.

En tercer lugar tenemos a Jean-Baptiste Joseph Fourier, matemático y físico frances, el cual en 1822 publicó unos estudios sobre transmisión del calor en los que utilizó por primera vez el uso de series infinitas trigonométricas de senos y cosenos para describir funciones periódicas de caracter general. Es lo que se conoce como las Series de Fourier y que posteriormente se amplió a todo tipo de funciones, periódicas y no periódicas, mediante la denominada “integral de Fourier”. Este aparato matemático de importancia vital en la ingeniería tiene múltiples aplicaciones prácticas en los sistemas de telefonía, como por ejemplo:

• Análisis de espectros frecuenciales de distintas formas de onda.
• Determinación del ancho de banda necesario en un canal de comunicación para la transmisión de señales.